La loi de puissance s'exprime aux échecs

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Écrit par Salim

Lundi, 08 Février 2010 00:05

La popularité des différentes ouvertures aux échecs suit une loi de puissance, dont l'exposant dépend du nombre de coups considérés.
1.e4 c5 2.Cf3 d6 3.d4 cxd4 4.Cxd4 Cf6 5.Cc3 a6… la « Sicilienne Najdorf » est l'une des ouvertures – un début de partie – les plus populaires aux échecs. Parmi les quelques 10120 parties possibles dans le jeu d'échecs, toutes ne sont pas réalisées et, en particulier, les différentes ouvertures ne sont pas toutes également populaires.

Plus précisément, Bernd Blasius, Ralf Tönjes et Andriy Bandrivsky, de l'Université de Potsdam en Allemagne, viennent de montrer que la fréquence des ouvertures suit une loi de puissance dite loi de Zipf.

Pour ce faire, les chercheurs ont simplement classé les quelque 1,4 million de parties d'échecs recensées dans la banque de données ScidBase en fonction des ouvertures utilisées, jusqu'à une profondeur de 20 coups (un coup équivaut à un mouvement blanc puis un mouvement noir). Ils ont constaté que les ouvertures suivent une distribution statistique de la forme 1/nα (une « loi de puissance »), où n est la popularité de l'ouverture (de la plus employée à la moins utilisée), et α un exposant positif égal à 2,05. Concrètement, cela signifie qu'un petit nombre d'ouvertures – dont la fameuse Sicilienne – sont employées dans un très grand nombre de parties.

L'apparition d'une loi de puissance n'est pas si surprenante. Ces lois se manifestent dans des situations aussi diverses que la fréquence de l'usage des mots dans une langue, le nombre de citations des articles scientifiques, le nombre de visites sur un site Internet, ou la taille des villes. Dans tous ces cas, y compris désormais aux échecs, l'exposant α est proche de 2. La valeur « universelle » de cet exposant a été remarquée dès les années 1940 par le linguiste George K. Zipf, et les distributions de cette forme portent aujourd'hui son nom.

De façon plus intéressante, les auteurs ont montré que la distribution des ouvertures suit deux régimes distincts. Si l'on considère non plus les parties entières, mais les d premiers coups, la distribution des ouvertures suit également une loi de puissance, mais dont l'exposant αd est plus petit que 2 et croît avec le nombre de coups d. La valeur critique α = 2 est atteinte à partir de 7 coups et demi (pour α > 2, les distributions de la forme 1/nα ont une moyenne bien définie, tandis que pour α < 2, la moyenne diverge).

Dans le premier régime, un petit nombre d'ouvertures sont utilisées dans une majorité de parties. Après 6 coups, par exemple, 80 pour cent des parties explorent 23 pour cent des ouvertures. Mais passé la profondeur critique, le gros des parties jouées sont construites sur des schémas différents, chacun très peu employée.

De nombreux modèles ont été proposés pour expliquer l'universalité des lois de Zipf, avec plus ou moins de succès. Selon B. Blasius et ses collègues, dans le cas précis des échecs, ce comportement découle de la structure de processus de décision sous-jacente, impliquant plusieurs choix successifs. Ce processus se retrouve dans d'autres domaines, tels les achats sur Internet : en cas de choix en nombre limité, quelques produits phares représentent l'essentiel des achats, mais au-delà d'un seuil, quand le nombre de choix est trop grand, aucun produit ne se dégage.

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